# 单因素方差分析

只有一个因素或因变量，有 2 个或多个水平，用单因素方差分析进行分析

假设：

• 总体服从正态分布
• 不同总体有相同的方差
• 样本随机、独立抽取

假设 $H_0: \mu_1 =\mu_2 =\mu_3 = \cdots = \mu_c$

• 所有样本均值都相等
• 即，没有因素效果 (不同组的均值没有变化)

假设 $H_1: Not\ all\ \mu_j\ are\ the\ same$

• 并非所有的均值都相等，至少一个总体均值是不同的
• 即，有一个因素是起作用的
• 并不意味着所有的总体均值都是不同的 (某些对可以是相同的)

# 离差

总离差可以分为:

$$SST = SSA + SSW$$

SST = 离差平方和 (总离差)
SSA = 组间离差平方和 (因素带来的离差)
SSW = 组内离差平方和 (由于随机误差带来的方差)

# 组间离差 SSA

$$SSA = \sum_{j=1}^{c} n_j(\overline{X}_{j} - \overline{\overline{X}})^2$$

$c$: 组的数目
$n_j$: 组$j$ 的样本容量
$\overline{X}_{j}$: 组$j$ 的样本均值
$\overline{\overline{X}}$: 所有数据的均值

# 组内离差 SSW

$$SSW = \sum_{j=1}^{c} \sum_{i=1}^{n_j} (X_{ij} - \overline{X}_{j})^2$$

$c$: 组的数目
$n_j$: 组$j$ 的样本容量
$\overline{X}_{j}$: 组$j$ 的样本均值
$X_{ij}$: 组$j$ 中第$i$ 个观测值

# 总离差 SST

$$\begin {aligned} SST &= SSA+SSW \\ &= \sum_{j=1}^{c} n_j(\overline{X}_{j} - \overline{\overline{X}})^2 + \sum_{j=1}^{c} \sum_{i=1}^{n_j} (X_{ij} - \overline{X}_{j})^2 \\ &= \sum_{j=1}^{c} \sum_{i=1}^{n_j} (X_{ij} - \overline{\overline{X}})^2 \end {aligned}$$

# 均方差

# 组间均方差 MSA

$$MSA = \frac{SSA}{c-1}$$

# 组内均方差 MSW

$$MSW = \frac{SSW}{n-c}$$

# 总均方差 MST

$$MST = \frac{SST}{n-1}$$

在 $H_0$ 下，$E(MSA)=E(MSW)=\sigma^2$；若组均值差异明显，则通常会出现 $MSA > MSW$。

# F 检验

$$F_{STAT} = \frac{MSA}{MSW}$$

自由度：分子 $d.f. = c-1$，分母 $d.f. = n-c$

检验步骤

• 给定显著性水平 $\alpha$
• 计算 $SSA, SSW$，进而计算 $MSA, MSW, F$
• 右尾检验拒绝域：若 $F_{STAT} > F_{\alpha;\ c-1,\ n-c}$，拒绝 $H_0$

# 方差分析表 (One-way ANOVA)

# 双因素方差分析

有两个因素 (A 与 B)，每个因素有多个水平，用双因素方差分析衡量：A 主效应、B 主效应、以及交互作用效应 (A×B)。

假设：

• 各处理组合下总体服从正态分布
• 各处理组合方差相同
• 样本随机、独立抽取

# 符号约定 (平衡设计)

为便于写公式，假设平衡设计：因素 A 有 $a$ 个水平，因素 B 有 $b$ 个水平，每个处理组合有 $n$ 次重复。

$X_{ijk}$: A 的第 $i$ 个水平、B 的第 $j$ 个水平下，第 $k$ 个观测值
$i=1,\dots,a$；$j=1,\dots,b$；$k=1,\dots,n$
$N = abn$: 总样本量
$\overline{X}_{ij.}$: 单元格 (i,j) 的样本均值
$\overline{X}_{i..}$: A 的第 $i$ 个水平下的边际均值
$\overline{X}_{.j.}$: B 的第 $j$ 个水平下的边际均值
$\overline{X}_{...}$: 全部观测的样本均值

# 假设检验

# 因素 A 的主效应

$$H_0^A: \mu_{1..} = \mu_{2..} = \cdots = \mu_{a..}$$

$$H_1^A: Not\ all\ \mu_{i..}\ are\ the\ same$$

# 因素 B 的主效应

$$H_0^B: \mu_{.1.} = \mu_{.2.} = \cdots = \mu_{.b.}$$

$$H_1^B: Not\ all\ \mu_{.j.}\ are\ the\ same$$

# 交互作用 A×B

假设 $H_0^{AB}$: 无交互作用

假设 $H_1^{AB}$: 有交互作用

若交互作用显著，解释主效应时需要谨慎。

# 离差平方和分解

总离差可以分为:

$$SST = SSA + SSB + SSAB + SSE$$

# 因素 A 的离差平方和 SSA

$$SSA = bn \sum_{i=1}^{a} (\overline{X}_{i..} - \overline{X}_{...})^2$$

# 因素 B 的离差平方和 SSB

$$SSB = an \sum_{j=1}^{b} (\overline{X}_{.j.} - \overline{X}_{...})^2$$

# 交互作用离差平方和 SSAB

$$SSAB = n \sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b} (\overline{X}_{ij.} - \overline{X}_{i..} - \overline{X}_{.j.} + \overline{X}_{...})^2$$

# 误差离差平方和 SSE

$$SSE = \sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b} \sum_{k=1}^{n} (X_{ijk} - \overline{X}_{ij.})^2$$

# 总离差 SST

$$SST = \sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b} \sum_{k=1}^{n} (X_{ijk} - \overline{X}_{...})^2$$

# 自由度与均方

$d.f._T = N-1 = abn-1$
$d.f._A = a-1$
$d.f._B = b-1$
$d.f._{AB} = (a-1)(b-1)$
$d.f._E = ab(n-1)$

$$MSA = \frac{SSA}{a-1}$$

$$MSB = \frac{SSB}{b-1}$$

$$MSAB = \frac{SSAB}{(a-1)(b-1)}$$

$$MSE = \frac{SSE}{ab(n-1)}$$

# F 检验

$$F_A = \frac{MSA}{MSE}$$

$$F_B = \frac{MSB}{MSE}$$

$$F_{AB} = \frac{MSAB}{MSE}$$

$F_A$ 的自由度为 $(a-1,\ ab(n-1))$
$F_B$ 的自由度为 $(b-1,\ ab(n-1))$
$F_{AB}$ 的自由度为 $((a-1)(b-1),\ ab(n-1))$

# 方差分析表 (Two-way ANOVA)