# 均值检验

# 相互独立样本

# $\sigma_1$ 与 $\sigma_2$ 未知，假设相等

用 $S_p$ 估计未知的 $\sigma$. 使用混合方差 t 检验 Pooled-variance t-test

假设检验

• Lower-tail test: $H_0: \mu_1 - \mu_2 \ge 0, H_1: \mu_1 - \mu_2 < 0$
• Upper-tail test: $H_0: \mu_1 - \mu_2 \le 0, H_1: \mu_1 - \mu_2 > 0$
• Two-tail test: $H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0, H_1: \mu_1 - \mu_2 \neq 0$

混合方差

$$S_{p}^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{(n_1 - 1) + (n_2 - 1)}$$

检验统计量

$$t_{STAT} = \frac{(\overline{X}_1 - \overline{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{ \sqrt{S_p^2(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})} }$$

自由度 $d.f. = n_1 + n_2 - 2$

$\mu_1 - \mu_2$ 的置信区间

$$\mathrm{CI} = (\overline{X}_1 - \overline{X}_2) \pm t_{\alpha/2} \sqrt{S_p^2(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}$$

# $\sigma_1$ 与 $\sigma_2$ 未知，没有假设相等

用 $S_1$ 与$S_2$ 估计未知的 $\sigma_1$ 与 $\sigma_2$. 使用 Separated-variance t-test

检验统计量

$$t_{STAT} = \frac{(\overline{X}_1 - \overline{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}}$$

自由度 $d.f.$ 使用 Welch-Satterthwaite 公式计算:

$$d.f. = \frac{(\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2})^2}{ \frac{(\frac{S_1^2}{n_1})^2}{n_1 - 1} + \frac{(\frac{S_2^2}{n_2})^2}{n_2 - 1} }$$

# 相关样本

检验两个相关总体的均值差异（配对样本 t 检验 Paired t-test ）。

假设检验

• Lower-tail test: $H_0: \mu_D \ge 0, H_1: \mu_D < 0$
• Upper-tail test: $H_0: \mu_D \le 0, H_1: \mu_D > 0$
• Two-tail test: $H_0: \mu_D = 0, H_1: \mu_D \neq 0$

检验统计量

$$t_{STAT} = \frac{\overline{D} - \mu_D}{ \frac{S_D}{\sqrt{n}} }$$

$\overline{D}$ 是样本差值的均值
$S_D$ 是样本差值的标准差
$n$ 是配对的数量
自由度 $d.f. = n - 1$

置信区间

$$\mathrm{CI} = \overline{D} \pm t_{\alpha/2} \frac{S_D}{\sqrt{n}}$$

# 比例检验

检验两个独立总体的比例差异（Z 检验 Z-test for the difference between two proportions ）。

假设检验

• Lower-tail test: $H_0: \pi_1 - \pi_2 \ge 0, H_1: \pi_1 - \pi_2 < 0$
• Upper-tail test: $H_0: \pi_1 - \pi_2 \le 0, H_1: \pi_1 - \pi_2 > 0$
• Two-tail test: $H_0: \pi_1 - \pi_2 = 0, H_1: \pi_1 - \pi_2 \neq 0$

混合比例
在 $H_0: \pi_1 = \pi_2$ 假设下，使用混合比例 $\overline{p}$：

$$\overline{p} = \frac{X_1 + X_2}{n_1 + n_2}$$

检验统计量

$$Z_{STAT} = \frac{(p_1 - p_2) - (\pi_1 - \pi_2)}{\sqrt{\overline{p}(1-\overline{p})(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}}$$

$\pi_1 - \pi_2$ 的置信区间

$$\mathrm{CI} = (p_1 - p_2) \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$$