# 假设检验基础

假设是关于总体参数的声明或断言

# 零假设 (原假设) $H_0$

假设检验从假定零假设为真开始.

零假设表示现状或历史值

包含 $=$ , $\leq$ 或 $\geq$ 符号

可能会或不会被拒绝

例：美国家庭平均拥有的电视机数量等于 3
$H_0: \mu = 3$
注意： 是关于总体参数，而不是样本参数，
即，不是 $H_0: \overline{X} = 3$

# 备择假设 $H_1$

与零假设是对立的

永远不包含 $=$ , $\leq$ 或 $\geq$ 符号

例：美国家庭平均拥有电视机数量不等于 3
$H_1: \mu \neq 3$

# 检验统计量和临界值

# 假设检验决策的可能错误

# 第一类错误 `Type I Error`

拒绝了一个为真的零假设
被认为是一类严重的错误
第一类错误的概率为 $\alpha$ $α$
- 称为统计检验的显著性水平
- 由研究者事先确定

# 第二类错误 `Type II Error`

没有拒绝错误的零假设
第二类错误的概率是 $\beta$

# 相关术语

置信系数 Confidence Coefficient ( $1-\alpha$ ): 在零假设为真的情况下，没有拒绝 H0 的概率.
置信水平 Confidence Level : $(1-\alpha) \times 100 %$
统计检验能力 The power of a statistical test ( $1-\beta$ ): 当零假设为假时，H0 被拒绝的概率.

# 假设检验过程 6 步法

写出零假设 $H_0$ 以及备择假设 $H_1$
选择显著性水平 $\alpha$ 以及样本容量 $n$
确定合适的检验统计量和样本分布
找出将拒绝域和非拒绝域分开的临界值
收集数据并计算检验统计量的值
作出统计决策并给出管理性结论
- 如果检验统计量落在非拒绝域，则不拒绝 $H_0$ .
- 如果检验统计量落在拒绝域，则拒绝 $H_0$ .
- 根据实际问题表达管理性结论.

例：假设检验过程

检验所宣称的美国家庭电视平均拥有量均值等于 3. (假定 $\sigma = 0.8$ )

给出合适的零假设和备择假设
- $H_0: \mu = 3; H_1: \mu \neq 3$ (双尾检验)
确定显著性水平和样本容量
- 假定 $\alpha = 0.05, n = 100$
确定合适的决策方法
- $\sigma$ 假设已知，因此采用 Z 检验.
确定临界值
- $\alpha = 0.05$ ，则临界值为 $\pm 1.96$
收集数据并计算检验统计量
- 假定样本结果为 $n = 100, \overline{X} = 2.84$ ( $\sigma = 0.8$ ，假定为已知)
- 因此，检验统计量为
  $\begin {aligned} Z_{STAT} &= \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \\ &= \frac{2.84 - 3}{0.8 / \sqrt{100}} \\ &= \frac{-0.16}{0.08} = -2.0 \end {aligned}$
作出统计决策并给出管理性结论
- $Z_{STAT} = -2.0 < -1.96$ , 因此检验统计量是落在拒绝域，拒绝零假设并得出结论：有足够的证据表明美国家庭平均电视数量不等于 3

# 假设检验的 p - 值法

p - 值 p-value : 是在 H0 为真的情况下，使得到的检验统计量等于或大于样本结果的概率。也被称为观察到的显著性水平

如果 p-value < $\alpha$ , 拒绝 H0
如果 p-value $\alpha$ , 不拒绝 H0

给出零假设 $H_0$ 以及备择假设 $H_1$
选择显著性水平 $\alpha$ 以及样本容量 $n$
确定合适的检验统计量和样本分布
收集数据，并计算检验统计量的值和 p-value
作出统计决策并给出管理性结论.
- 如果 p-value < α ，则拒绝 H0, 否则不拒绝 H0.
- 根据实际问题说明管理性结论.

例：假设检验 p-值法过程

检验所宣称的美国家庭电视平均拥有量均值等于 3. (假定 $\sigma = 0.8$ )

给出合适的零假设和备择假设
- $H_0: \mu = 3; H_1: \mu \neq 3$ (双尾检验)
确定显著性水平和样本容量
- 假定 $\alpha = 0.05, n = 100$
确定合适的决策方法
- $\sigma$ 假设已知，因此采用 Z 检验.
收集数据并计算检验统计量
- 假定样本结果为 $n = 100, \overline{X} = 2.84$ ( $\sigma = 0.8$ ，假定为已知)
- 因此，检验统计量为
  $\begin {aligned} Z_{STAT} &= \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \\ &= \frac{2.84 - 3}{0.8 / \sqrt{100}} \\ &= \frac{-0.16}{0.08} = -2.0 \end {aligned}$
- 因此，p - 值为
  $\text{p-value} = P(Z < -2.0) + P(Z > -2.0) = 0.0228 + 0.0228 = 0.0456$
作出统计决策并给出管理性结论
- $\text{p-value} = 0.0456 < \alpha = 0.05$ , 因此检验统计量是落在拒绝域，拒绝零假设并得出结论：有足够的证据表明美国家庭平均电视数量不等于 3

# 假设检验基础

# 零假设 (原假设) H0H_0H0​

# 备择假设 H1H_1H1​

# 检验统计量和临界值

# 假设检验决策的可能错误

# 第一类错误 Type I Error

# 第二类错误 Type II Error

# 相关术语

# 假设检验过程 6 步法

# 假设检验的 p - 值法

第6章 置信区间估计

第8章 两个样本检验

# 零假设 (原假设) $H_0$

# 备择假设 $H_1$

# 第一类错误 `Type I Error`

# 第二类错误 `Type II Error`

第6章置信区间估计

第8章两个样本检验