# 点估计和区间估计

# 点估计

• 是一个数
• 是使用单个样本的统计量来估计总体参数的方法

# 区间估计

• 是在点估计左右构造的一段区间
• 提供了估计值变动的更多的信息

# 置信区间和置信水平

# 置信区间

置信区间给出了一个值的范围:

• 考虑不同样本之间样本统计量的变异
• 基于 1 个样本的观测
• 给出了接近总体参数程度的信息

# 置信水平（置信度）

相信该区间包含位置的总体参数

• 是一个比例 (低于 100%)

常说的 95% 置信区间 这里的 **95%** 就是置信水平

也可写为$\alpha = 0.05, (1 - \alpha) = 0.95$

# 置信区间估计的计算

# 通用计算

$$\mathrm{CI} = \overline{X} \pm e$$

$\overline{X}$ 是点估计.
$e$ 是边际误差

# 总体均值 $\mu$ 的置信区间估计

# 当总体标准差 $\sigma$ 已知

假设：

• 总体标准差 $\sigma$ 已知.
• 总体是正态分布（如果总体不是正态，则使用大样本）.

$$\mathrm{CI} = \overline{X} \pm Z_{\alpha / 2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

$\overline{X}$ 是点估计.
$Z_{\alpha / 2}$ 是每一侧$\alpha / 2$ 概率处的正态分布临界值.
$\sigma / \sqrt{n}$ 是标准误.

# 当总体标准差 $\sigma$ 未知

如果总体标准差 $\sigma$ 未知，我们可以用样本标准差 $S$ 代替.

• 这会带来额外的不确定性，因为 $S$ 是随样本的变化而变化的.
• 因此我们用 t 分布 来代替正态分布.

$$\mathrm{CI} = \overline{X} \pm t_{\alpha / 2} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$$

$t_{\alpha / 2}$ 是自由度为$n -1$，双尾两侧各 $\alpha / 2$ 的临界值.

# 总体比例 $\pi$ 的置信区间估计

如果样本足够大，则样本比例分布近似为正态分布，标准差可以用样本数据进行估计.

$$\begin {aligned} \sigma_{p} &= \sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}} \\ &\simeq \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \end {aligned}$$

总体比例的置信区间上限与下限可用如下公式计算.

$$p \pm Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

$Z_{\alpha/2}$ 是该置信度下的标准正态分布的临界值.
$p$ 是样本比例.
$n$ 是样本容量.

# 确定需要的样本容量

确定样本容量，可以通过确定给定置信度 ($1-\alpha$) 下你可以容忍多大的抽样误差来达到.

# 确定均值需要的样本容量

$$e = Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \Rightarrow n = \frac{Z_{\alpha/2}^2 \sigma^2}{e^2}$$

确定均需要的样本容量，需要知道:

• 设定的置信度 $1-\alpha$, 及其决定的临界值 Z_
• 可接受的抽样误差 $e$
• 标准差 $\sigma$

# 确定比例需要的样本容量

$$e = Z \cdot \sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}} \Rightarrow n = \frac{Z^2 \pi(1-\pi)}{e^2}$$

确定比例所需要的样本容量，需要知道:

• 设定的置信度 $1-\alpha$, 及其决定的临界值，Z_
• 可接受的抽样误差 $e$
• 比例的真值 $\pi$
• 必要时 $\pi$ 可以用先期抽样样本进行估计
• 如果没有过去的信息或相关经历，可以用一个绝对不会低估样本容量的 $\pi$ 值。当 $\pi=0.5$ 时，可以使 $\pi\times(1- \pi)$ 最大化