场景：购物篮分析。"啤酒与尿布"。
形式: $X \rightarrow Y$ (买了 x 的人也会买 Y)

# 三个核心指标

# 支持度（Support）

$$\begin {aligned} \text{support}(A \rightarrow B) &= P(A \cup B) \\ &= \frac{|{t: A \subseteq t \ \text{且}\ B \subseteq t}|}{N} \end {aligned}$$

其中 $N$ 是事务总数，分子 $t$ 是同时包含 A 和 B 的事务数（即 $A \cap B$ 的计数）。

支持度衡量项集或规则在整个事务数据库中出现的频率。

对于规则 $A \rightarrow B$，常用的定义是 A 和 B 同时出现的事务占总事务数的比例。

支持度反映规则的 “重要性” 或 “普遍性”。支持度过低的规则通常被认为不重要并会被剪掉（Apriori 中用于剪枝）。

# 置信度（Confidence）

$$\begin {aligned} \text{confidence}(A \rightarrow B) &= P(B\mid A) \\ &= \frac{\text{support}(A \cup B)}{\text{support}(A)} \\ &= \frac{|{t: A \cap B \subseteq t}|/N}{|{t: A \subseteq t}|/N} \\ &= \frac{|{t: A \cap B \subseteq t}|}{|{t: A \subseteq t}|} \end {aligned}$$

置信度衡量在包含 A 的事务中同时也包含 B 的条件概率，即 $P(B \mid A)$。

解释：置信度反映规则的 “可靠性” —— 在已知 A 发生的前提下，B 发生的概率。置信度高表示规则有较强的条件关联性，但不区分偶然相关或由基线支持度导致的高概率。

# 提升度（Lift）

$$\begin {aligned} \text{lift}(A \rightarrow B) &= \frac{\text{confidence}(A \rightarrow B)}{\text{support}(B)} \\ &= \frac{P(B\mid A)}{P(B)} \\ &= \frac{P(A\cap B)}{P(A)P(B)} \end {aligned}$$

提升度定义为规则置信度与 B 的总体支持度之比，等价于联合概率与边缘概率乘积之比。

用于衡量 A 和 B 之间关联是否超过随机独立情况下的期望水平 (即相关性)。

解释：

• lift > 1：A 的出现能增加 B 出现的可能性（正相关）。
• lift = 1：A 与 B 独立（无关联）。
• lift < 1：A 的出现减少 B 出现的可能性（负相关）。

# Apriori 算法

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flowchart TD
    A["开始"] --> B["扫描数据库<br/>生成1项集候选集C1"]
    B --> C["计算C1中每个项的支持度"]
    C --> D["按最小支持度筛选<br/>得到频繁1项集L1"]
    D --> E{"L1为空?"}
    E -->|是| F["结束<br/>返回所有频繁项集"]
    E -->|否| G["k = 2"]
    G --> H["由Lk-1生成<br/>候选k项集Ck"]
    H --> I{"Ck为空?"}
    I -->|是| F
    I -->|否| J["扫描数据库<br/>计算Ck中每个项集的支持度"]
    J --> K["按最小支持度筛选<br/>得到频繁k项集Lk"]
    K --> L{"Lk为空?"}
    L -->|是| F
    L -->|否| M["k = k + 1"]
    M --> H